有理方程
Rational Equation

  含有有理式的方程称为有理方程。解有理方程就是利用代数式的运算法则和方程式的性质，把有理方程转换为整式方程，从而求得有理方程的解。

  任何有理方程都可以通过乘以其分母的公倍式将分式消除。

  方程两边所有项的正负号可以由 `+` 转 `-` 和由 `-` 转 `+`，等价于在方程两边同时乘以 `-1`。

  方程两边各个分母的任何公倍式都可以将各个分母消除，但是，更倾向于使用最小公倍式，因为，这样可以得到简化的表达式。

  例：求解方程 `\dfrac{5-3x}{2}=\dfrac{8x-9}{3}.`

  方程中，各个分母 `2`、`3` 的最小公倍数为 `6`，因此，在方程两边同时乘以 `6`,

`\dfrac{5-3x}{2}\times 6=\dfrac{8x-9}{3}\times 6.`

`\therefore\ (5-3x)\times 3=(8x-9)\times 2,`
`\therefore\ 15-9x=16x-18,`
`-9x-16x=-15-18,`
`-25x=-33`，因此，`x=\dfrac{33}{25}.`

  例：求解方程 `\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{a}{3}\right)-\dfrac{1}{3}\left(x-\dfrac{a}{4}\right)+\dfrac{1}{4}\left(x-\dfrac{a}{5}\right)=0.`

  方程两边同时乘以分母 `2`、`3`、`4` 的最小公倍数 `12`，

`6\left(x-\dfrac{a}{3}\right)-4\left(x-\dfrac{a}{4}\right)+3\left(x-\dfrac{a}{5}\right)=0.`

`\therefore\ 6x-2a-4x+a+3x-\dfrac{3a}{5}=0,`
`5x=2a-a+\dfrac{3}{5}a=\dfrac{8}{5}a,`
`\therefore\ \ x=\dfrac{8a}{5}.`

  把以上 `x` 的解代入原方程验证，

`\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{8a}{5}-\dfrac{a}{3}\right)-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{8a}{5}-\dfrac{a}{4}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{8a}{5}-\dfrac{a}{5}\right)`

`\Rightarrow\ \dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{a}{75}\right)-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{7a}{100}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{3a}{25}\right)\hphantom{wwwwwwwww6}`

`\Rightarrow\ -\dfrac{2a}{300}-\dfrac{7a}{300}+\dfrac{9a}{300}=0.\hphantom{wwwwwwwwwwwwwww}`

  例：求解方程 `\dfrac{9x+14}{12}-\dfrac{1}{7x}=\dfrac{5}{6x}-\dfrac{16-21x}{28}.`

  由原方程可得，

`\dfrac{3x}{4}+\dfrac{7}{6}-\dfrac{1}{7x}=\dfrac{5}{6x}-\dfrac{4}{7}+\dfrac{3x}{4}.`

`\therefore\ \dfrac{7}{6}-\dfrac{1}{7x}=\dfrac{5}{6x}-\dfrac{4}{7}.`

  上述方程两边同时乘以各个分母 `6`、`7x`、`6x`、`7` 的最小公倍式 `42x`，

`49x-6=35-24x,`
`49x+24x=35+6,`
`\therefore\ \ x=\dfrac{41}{73}.`

  例：解方程 `\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{a-b}{x}=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{a+b}{x}.`

  通过移项，把含 `x` 的项移到方程的一边，不含 `x` 的项移到方程的另一边，

`\dfrac{a-b}{x}-\dfrac{a+b}{x}=\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{a-b}.`

`\therefore\ \ \dfrac{a-b-a-b}{x}=\dfrac{a-b-a-b}{a^2-b^2}.`

`\therefore\ \ \dfrac{-2b}{x}=\dfrac{-2b}{a^2-b^2}.`

`\therefore\ \ \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{a^2-b^2}.`

`\therefore\ \ x=a^2-b^2.`

  例：解方程 `\dfrac{x-1}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{x-5}{x-6}-\dfrac{x-6}{x-7}.`

  由于各个分式的分子与分母相差 `1`，因此，可以首先简化各个分式，

`\dfrac{x-2+1}{x-2}-\dfrac{x-3+1}{x-3}=\dfrac{x-6+1}{x-6}-\dfrac{x-7+1}{x-7}.`

`\therefore\ 1+\dfrac{1}{x-2}-1-\dfrac{1}{x-3}=1+\dfrac{1}{x-6}-1-\dfrac{1}{x-7}.`

`\therefore\ \dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{1}{x-6}-\dfrac{1}{x-7}.`

  由于方程两边分式的分母之差为 `1`、且方程两边分式的分子都为 `1`，所以，分别相加方程两边的分式，

`\dfrac{(x-3)-(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{(x-7)-(x-6)}{(x-6)(x-7)}.`

`\therefore\ \dfrac{-1}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{-1}{(x-6)(x-7)}.`

`\therefore\ -x^2+13x-42=-x^2+5x-6,`
`\therefore\ 8x=36`，即 `x=4\dfrac{1}{2}.`

  例：解方程 `\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{4}{x^2-1}.`

  方程两边乘以各个分母 `x-1`、`x+1`、`x^2-1` 的最小公倍式 `x^2-1`，

`\dfrac{x\cdot (x+1)}{(x-1)\cdot (x+1)}-\dfrac{2\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}=\dfrac{4}{x^2-1}.`

`\therefore\ \ \dfrac{x^2+x-2x+2}{x^2-1}=\dfrac{4}{x^2-1}.`

  当 `x=\pm 1` 时，方程无意义。

  当 `x\neq \pm 1` 时，因为，方程两边分母相等，所以，分子也相等，即 `x^2-x+2=4`，整理得 `x^2-x-2=0.`

  很显然以上方程的解为 `x=2` 或 `x=-1`（不符合假设，舍去）

  所以，原方程的解为 `x=2.`

---

  练一练：解如下一元有理数方程

1. `\dfrac{3+x}{3-x}-\dfrac{1+x}{1-x}-\dfrac{2+x}{2-x}=1.`

2. `\dfrac{x+2}{x-2}+\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{5}{2}.`

3. `\dfrac{7x+9}{4}=\left(x-\dfrac{2x-1}{9}\right)+7.`

4. `\dfrac{4}{x-6}-\dfrac{3}{x-9}=\dfrac{1}{x-3}.`

5. `\dfrac{3x}{4}-\dfrac{x-10}{2}=x-6-\dfrac{x-4}{2}.`

6. `\dfrac{x-1}{3}+\dfrac{3}{x-1}=2.`

7. `\dfrac{x+2}{b+2}=2-\dfrac{x+1}{b+1}.`

8. `\dfrac{x-1}{x-2}-\dfrac{x-3}{x-4}=-\dfrac{2}{3}.`

9. `\dfrac{x+1}{x-1}+\dfrac{2(x-3)}{x-2}=\dfrac{16-9x}{x^2-3x+2}.`

10. `\dfrac{x-3}{x-1}+\dfrac{x+1}{x+3}+\dfrac{8}{x^2+2x-3}=0.`

11. `\dfrac{1}{6x+6}-\dfrac{1}{2x+2}+\dfrac{10}{3-3x^2}=\dfrac{x}{3(1-x)}.`

12. `\dfrac{1}{ab-ay}+\dfrac{1}{bc-by}=\dfrac{1}{ac-ay}.`

13. `\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-4}=\dfrac{1}{x-6}-\dfrac{1}{x-8}.`

14. `\dfrac{ax^2+bx+c}{px^2+qx+r}=\dfrac{ax+b}{px+q}.`

15. `\dfrac{9x+3}{27}+\dfrac{3x-6}{2x-5}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{3x+22}{9}.`

16. `\dfrac{9(2x-3)}{14}+\dfrac{11x-1}{3x+1}=\dfrac{9x+11}{7}.`

17. `\dfrac{7x-6}{35}-\dfrac{x-5}{6x-101}=\dfrac{x}{5}.`

18. `\dfrac{x+2}{x-3}+\dfrac{x-2}{x-6}=2.`

19. `\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{3x-1}{x+2}-\dfrac{5x-11}{x-2}=0.`

20. `\dfrac{7x-11}{4x-7}+\dfrac{3x-2}{12x-1}=\dfrac{2x+5}{x+2}.`

21. `\dfrac{1}{2}\left[x-\dfrac{1}{3}\left\{x-\dfrac{1}{4}\left(x-\dfrac{x-\frac{x}{6}}{5}\right)\right\}\right]=53.`

22. `\dfrac{6-5x}{15}-\dfrac{7-2x^2}{14(x-1)}=\dfrac{1+3x}{21}-\dfrac{10x-11}{30}+\dfrac{1}{105}.`

 

循环变量方程组

  如果在方程组中，各个变量在方程组中的每一个方程中循环出现，称这样的方程组为循环变量方程组，比如，解如下方程组，

`\begin{cases} xy = m \\ yz= n \\ zx=l \end{cases}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ x^2y^2z^2=mnl\ \ \ \Rightarrow\ \ \ xyz=\pm\sqrt{mnl}.`

  依次用 `xyz` 除方程组中的每一个方程，得，

`\begin{cases} \dfrac{xyz}{xy} = z = \pm\dfrac{\sqrt{mnl}}{m} = \pm\sqrt{\dfrac{nl}{m}}, \\ \dfrac{xyz}{yz} = x = \pm\dfrac{\sqrt{mnl}}{n} = \pm\sqrt{\dfrac{ml}{n}}, \\ \dfrac{xyz}{zx} = y = \pm\dfrac{\sqrt{mnl}}{l} = \pm\sqrt{\dfrac{mn}{l}}. \end{cases}`

  例一：解方程组 `\begin{cases}x+y+xy=41, \\ x+z+xz=26, \\ y+z+yz=125. \end{cases}`

  解：每一个方程的两边同时加 `1`，

`\begin{cases}x+y+xy+1=41+1 \\ x+z+xz+1=26+1 \\ y+z+yz+1=125+1 \end{cases}`

`\Rightarrow\ \ \begin{cases}(x+1)+(x+1)y=42 \\ x(z+1)+(z+1)=27 \\ (y+1)+(y+1)z=126 \end{cases}`

`\Rightarrow\ \ \begin{cases}(x+1)(y+1)=42 & \cdots & ① \\ (x+1)(z+1)=27 & \cdots & ② \\ (y+1)(z+1)=126 & \cdots & ③ \end{cases}`

  ①`\times`②`\times`③ 得：

`(x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2=42\cdot 27\cdot 126,`

`(x+1)(y+1)(z+1)=\pm\sqrt{42\cdot 27\cdot 126}.`

`\Rightarrow\ \ \begin{cases}\dfrac{(x+1)(y+1)(z+1)}{(x+1)(y+1)}=\dfrac{\pm\sqrt{42\cdot 27\cdot 126}}{42} \\ \dfrac{(x+1)(y+1)(z+1)}{(x+1)(z+1)}=\dfrac{\pm\sqrt{42\cdot 27\cdot 126}}{27} \\ \dfrac{(x+1)(y+1)(z+1)}{(y+1)(z+1)}=\dfrac{\pm\sqrt{42\cdot 27\cdot 126}}{126} \end{cases}`

`\Rightarrow\ \ \begin{cases}z+1=\dfrac{\pm\sqrt{42\cdot 27\cdot 126}}{42} \\ y+1=\dfrac{\pm\sqrt{42\cdot 27\cdot 126}}{27} \\ x+1=\dfrac{\pm\sqrt{42\cdot 27\cdot 126}}{126} \end{cases}``\Rightarrow\ \ \begin{cases}z=\pm \hphantom{2}9-1, \\ y=\pm 14 -1, \\ x=\pm \hphantom{2}3-1. \end{cases}`

  例二：解方程组 `\begin{cases}x^2-xy-xz=5, & \cdots & ① \\ y^2-yz-xy=-4, & \cdots & ② \\ z^2-xz-yz=-7. & \cdots & ③ \end{cases}`

  解：①`\times`y+②`\times`x 得：

`\begin{array}{rrcl} & y(x^2-xy-xz) & = & \hphantom{-}5y \\ & x(y^2-yz-xy) & = & -4x \\ \hline & yx^2-xy^2-xyz & = & \hphantom{-}5y \\ +& xy^2-xyz-x^2y & = & -4x \\ \hline & \color{#00F}-2xyx\hphantom{www} & \color{#00F}= & \color{#00F}5y-4x \end{array}`

  ②`\times`z+③`\times`y 得：

`\begin{array}{rrcl} & z(y^2-yz-xy) & = & -4z \\ & y(z^2-xz-yz) & = & -7y \\ \hline & zy^2-yz^2-xyz & = & -4z \\ +& yz^2-xyz-y^2z & = & -7y \\ \hline & \color{#00F}-2xyx\hphantom{www} & \color{#00F}= & \color{#00F}-4z-7y \end{array}`

  ①`\times`z+③`\times`x 得：

`\begin{array}{rrcl} & z(x^2-xy-xz) & = & \hphantom{-}5z \\ & x(z^2-xz-yz) & = & -7x \\ \hline & zx^2-xyz-xz^2 & = & \hphantom{-}5z \\ +& xz^2-x^2z-xyz & = & -7x \\ \hline & \color{#00F}-2xyx\hphantom{www} & \color{#00F}= & \color{#00F}5z-7x \end{array}`

`\begin{cases}\hphantom{-}5y-4x & = & -4z-7y, \\ -4z-7y & = & \hphantom{-}5z-7x, \\ \hphantom{-}5z-7x & = & \hphantom{-}5y-4x. \end{cases}`

  解此方程得 `\begin{cases}x=5\\y=\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{7}{2} \end{cases}`，另外由方程的对称性知 `\begin{cases}x=-5\\y=-\dfrac{1}{2}\\z=-\dfrac{7}{2} \end{cases}` 也是方程的解。

  例三：解方程组 `\begin{cases}2x=y+\dfrac{2}{y}, & \cdots & ① \\ 2y=z+\dfrac{2}{z}, & \cdots & ② \\ 2z=x+\dfrac{2}{x}. & \cdots & ③ \end{cases}`

  由方程的形式可知 `x\neq 0`、`y\neq 0`、`z\neq 0`。把方程组中的三个方程相加，

`x+y+z=2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right).\ \cdots\ \ ④`

  另外，根据原方程组，如果 `x\gt 0`，则 `y\gt 0`，相应地 `z\gt 0`；如果 `x\lt 0`，则 `y\lt 0`，相应地 `z\lt 0`。

  因此，首先，考虑 `x\gt 0`、`y\gt 0`、`z\gt 0` 的情形，根据不等式 `a^2+b^2\geq 2ab`，所以，`x+\dfrac{2}{x}\geq 2\sqrt{2}`、`y+\dfrac{2}{y}\geq 2\sqrt{2}`、`z+\dfrac{2}{z}\geq 2\sqrt{2}`，因为，`2z=x+\dfrac{2}{x}`，所以，`2z\geq 2\sqrt{2}`，即 `z\geq \sqrt{2}`，同理，`y\geq \sqrt{2}`、`x\geq \sqrt{2}`。代入方程 `④` 中，

`3\sqrt{2}\leq x+y+z=2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)``\leq 2\cdot 3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.`

  因此，

`3\sqrt{2}=x+y+z.`
`\therefore\ (x-\sqrt{2})+(y-\sqrt{2})+(z-\sqrt{2})=0.`

  但是，`x-\sqrt{2}\geq 0`、`y-\sqrt{2}\geq 0`、`y-\sqrt{2}\geq 0`，所以，`x=y=z=\sqrt{2}`，因此，`(\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2})` 是原方程组的一个解。

  如果 `x\lt 0`、`y\lt 0`、`z\lt 0` 时，设 `x'=-x`、`y'=-y`、`z'=-z`，则转换为上述情形，所以，`(-\sqrt{2},-\sqrt{2},-\sqrt{2})` 也是原方程组的一个解。

---

  练一练：解如下循环变量方程组。

1. 解方程组 `\begin{cases} xy + xz = 72 \\ yz + yx = 96 \\ xz + yz = 120 \end{cases}`，提示，把所有方程相加。

2. 解方程组 `\begin{cases} (x+y)(x+y+z) = 72 \\ (x+z)(x+y+z) = 96 \\ (y+z)(x+y+z) = 120 \end{cases}`

3. `\begin{cases} \dfrac{xy}{x+y} = \dfrac{5}{3} \\ \dfrac{xz}{x+z} = \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{yz}{y+z} = 4 \end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{3}{5} \\ \dfrac{x+z}{xz} = \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{y+z}{yz} = \dfrac{1}{4} \end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{5} \\ \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} \end{cases}`

4. `\begin{cases} 2x\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right) = 15 \\ 3y\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right) = 20 \\ 6z\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right) = 13 \end{cases}`

5. `\begin{cases} \dfrac{3xy}{x+y} = 5 \\ \dfrac{2xz}{x+z} = 3 \\ \dfrac{yz}{y+z} = 4 \end{cases}`

6. `\begin{cases} x+y = \dfrac{1}{z} \\ y+z = \dfrac{1}{x} \\ z+x = \dfrac{1}{y} \end{cases}`

7. `\begin{cases} x(y+z) = 27 \\ y(x+z) = 32 \\ z(y+z) = 35 \end{cases}`

8. `\begin{cases} 2x+x^2y=y \\ 2y+y^2z=z \\ 2z+z^2x=x \end{cases}`

9. `\begin{cases} x^2+2y^2+3z^2=36 \\ 3x^2+2y^2+z^2=84 \\ xy+yz+zx=-7 \end{cases}`

10. A、`\begin{cases} x^3+y^3-z^3-xyz+11=0 \\ x^3-y^3+z^3-xyz-21=0 \\ -x^3+y^3+z^3-xyz-3=0 \end{cases}`，  B、`\begin{cases} (x+y)^3=z \\ (y+z)^3 = x \\ (z+x)^3 = y \end{cases}`

 

互倒方程
Reciprocal Equations

  在一个关于 `x` 的方程中，如果当将 `x` 替换为 `\dfrac{1}{x}` 时，方程得到简化，但方程的形式保持不变，则称 `x` 的方程为互倒方程，对于一元四次方程，其形式如下，

`{\color{#00F}\mathbf{a}}x^4\pm {\color{#00F}\mathbf{b}}x^3+cx^2\pm {\color{#00F}\mathbf{b}}x+{\color{#00F}\mathbf{a}}=0.`

  如果用 `\dfrac{1}{x}` 替换 `x`，得到，

`a\left(\dfrac{1}{x}\right)^4\pm b\left(\dfrac{1}{x}\right)^3+c\left(\dfrac{1}{x}\right)^2\pm b\left(\dfrac{1}{x}\right)+a=0.`

  两边同时乘以 `x^4`，

`a\pm bx+cx^2\pm bx^3+ax^4=0.`

  与原方程的形式相同。

  通过两边同时除以 `x^2`，

`\dfrac{ax^4\pm bx^3+cx^2\pm bx+a}{x^2}=\dfrac{0}{x^2}.`

`\therefore ax^2\pm bx+c\pm b\dfrac{1}{x}+a\dfrac{1}{x^2}=0.`

`\therefore a\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\pm b\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+c=0.`

  设 `x+\dfrac{1}{x}=y`，则 `x^2+\dfrac{1}{x^2}=y^2-2`，代入上述方程，

`a(y^2-2)\pm by+c=0.`
`\therefore\ ay^2\pm by+c-2a=0.`

  根据一元二次方程根式解可得，

`y=\dfrac{-b\mp\sqrt{b^4-4a(c-2a)}}{2a}.`

  将以上 `y` 的值代入到 `x+\dfrac{1}{x}=y`，即可求得四个相应的 `x` 的解。

  如果方程为如下形式，

`{\color{#00F}\mathbf{a}}x^4\pm {\color{#00F}\mathbf{b}}x^3+cx^2\mp {\color{#00F}\mathbf{b}}x+{\color{#00F}\mathbf{a}}=0.`

  则在方程两边除以 `x^2` 后，设 `x-\dfrac{1}{x}=y`，替换上述方程，则可类似地求得原方程的解。

  例：解方程 `x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0.`

  方程两边同时除以 `x^2`，

`x^2-3x+4-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0.`

`\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+4=0.`

  设 `x+\dfrac{1}{x}=y`，则 `x^2+\dfrac{1}{x^2}=y^2-2`，代入上述方程，

`(y^2-2)-3y+4=0.`
`\therefore\ y^2-3y+2=0.`
`(y-2)(y-1)=0`
`\therefore\ y=2,\ \ y=1.`

  当 `y=2` 时，`x+\dfrac{1}{x}=2`，因此，`x^2+1=2x`，解该方程可得两个相同的根，即 `x=1.`

  当 `y=1` 时，`x+\dfrac{1}{x}=1`，因此，`x^2+1=x`，解该方程可得 `x=\dfrac{1}{2}(1\pm\sqrt{-3}).`

  因此，原方程的四个根为 `1`、`1`、`\dfrac{1}{2}(1+\sqrt{-3})`、`\dfrac{1}{2}(1-\sqrt{-3}).`

  例：解方程 `\dfrac{x^2+1}{x+1}+2\dfrac{x+1}{x^2+1}=3.`

  设 `\dfrac{x^2+1}{x+1}=y`，代入方程，

`y^2+\dfrac{2}{y}=3.`
`\therefore\ y^2-3y+2=0.`
`\therefore\ y=2,\ \ y=1.`

  当 `y=2` 时，`\dfrac{x^2+1}{x+1}=2`，展开得 `x^2-2x-1=0`，解该方程可得 `x=1\pm\sqrt{2}.`

  当 `y=1` 时，`\dfrac{x^2+1}{x+1}=1`，展开得 `x^2-x=0`，解该方程可得 `x=0`、`x=1.`

  因此，原方程的四个根为 `1+\sqrt{2}`、`1-\sqrt{2}`、`0`、`1.`

---

  练一练：解如下方程。

1. `2x^4+x^3-6x^2+x+2=0.`

2. `6x^4+35x^3+62x^2+35x+6=0.`

3. `2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0.`

4. `6x^4-25x^3+12x^2+25x+6=0.`

5. `2x^4-5x^3+6x^2-5x+2=0.`

  

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4. 指导如何使用网站资源和资源参考等。

  

网站基本操作：

• 网上菜单：菜单会自动适应屏幕，也可以点击“手机版”和“电脑版”来回切换
• 页面刷新：刷新页面、返回、前进等网页功能定义为重新加载网站，帮助用户要使用网站提供的功能阅读
• 网上图形：一般来讲，蓝色表示已知条件，红色表示拖拽红色部分可以移动或者改变图形，如下图所示，练习拖动红点，观察图形变化：
  
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• 内容与目录切换：点击标题栏 “目录”，或者页面左右边框，来回切换目录和内容